Задачки, що призводять до поняття «подвійний інтеграл».

  1. Нехай в площині задана плоска речова пластинка, в кожній точці якої відома щільність. Необхідно відшукати масу цієї платівки. Тому що дана платівка має точні розміри, то вона може бути укладена в прямокутник. Щільність платівки можна усвідомлювати до того ж так: у тих точках прямокутника, що не відносяться платівці, будемо вважати, що щільність дорівнює нулю. Задамо рівномірне розбиття на одноманітне кількість частинок. Таким макаром, дана фігура буде розбита на прості прямокутники. Роздивимось один з таких прямокутників. Виберемо всяку точку даного прямокутника. В силу малості розмірів такого прямокутника будемо вважати, що щільність в кожній точці даного прямокутника є величиною незмінною. Тоді маса такої прямокутної частинки, буде визначатися як множення щільності в цій точці на площу прямокутника. Площа, як зрозуміло, це множення довжини прямокутника на ширину. А на координатній площині — це зміна з якимсь кроком. Тоді маса всієї платівки складе суму мас таких прямокутників. Якщо в такому співвідношенні перейти до кордону, тоді можна отримати чітке співвідношення.
  2. Задамо просторове тіло, яке обмежене початком координат і якоїсь функцією. Необхідно відшукати обсяг позначеного тіла. Як і в минулому випадку, розіб’ємо область на прямокутники. Будемо вважати, що в точках, які не належать області, функція буде дорівнює 0. Роздивимось один з прямокутних розбиті. Через сторони даного прямокутника проведемо площини, які перпендикулярні до осей абсцис і ординат. Отримаємо паралелепіпед, який знизу обмежений площиною щодо осі аплікат, а зверху тією функцією, яка була задана в умові задачки. Виберемо посеред прямокутника точку. В силу малості розмірів даного прямокутника можна вважати, що функція в рамках цього прямокутника має незмінне значення, і тоді можна вирахувати обсяг прямокутника. А обсяг фігури буде дорівнює сумам всіх обсягів таких прямокутників. Щоб отримати чітке значення, потрібно перейти до кордону.

Як видно з намічених цілей, в кожному прикладі приходимо до висновку, що різні задачки призводять до розгляду подвійних сум схожого виду.

Характеристики подвійного інтеграла.

Поставимо задачу. Нехай в деякій замкнутій області задана функція двох змінних, при цьому дана функція неперервна. Тому що область обмежена, то можна помістити її в будь-який прямокутник, який цілком містить усередині себе характеристики точки даної області. Розіб’ємо прямокутник на рівні частини. Назвемо поперечником розбиття найбільшу діагональ з вийшов прямокутників. Виберемо зараз в межах одного такого прямокутника точку. Якщо відшукати значення в цій точці скласти суму, то ця сума буде називатися інтегральної для функції в даній області. Знайдемо границю такої інтегральної суми, за умови, що поперечник розбиття слід до 0, а кількість прямокутників — до безкінечності. Якщо такої межа існує і не перебуває в залежності від методу розбиття області на прямокутники і від вибору точки, тоді вона іменується — подвійний інтеграл.

Геометричний сенс подвійного інтеграла: подвійний інтеграл числівники дорівнює обсягу тіла, яке було описано в завданні 2.

Знаючи подвійний інтеграл (визначення), можна встановити наступні характеристики:

  1. Постійну можна виносити за символ інтеграла.
  2. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
  3. З функцій менше буде і, подвійний інтеграл якої менше.
  4. Модуль можна заносити під символ подвійного інтеграла.